Hey,
da es mich selber betrifft und ich auch recherchiert habe, gebe ich dir mal meine Insights.
Vermutlich geht es für dich um den Einstieg zum 01.06., da bist du wegen der PKV schon recht spät dran, aber es ist weniger schlimm als es aussieht. Zunächst einmal musst dich selber bei einer PKV deiner Wahl um eine Aufnahme bemühen. Ich empfehle hier dringend (!) eine Versicherung zu wählen, die bei der sog. Öffnungsaktion mitmacht (Google hilft hierbei). Hierbei hast du ein Aufnahmerecht, einen extra niedrigen Beitrag für Anwärter und einen Maximalaufschlag von 30%, der sich nach deinen Vorerkrankungen richtet. Das mit dem Aufnahmeantrag kann sich ein bißchen ziehen (bei mir dauerte es ca. 2 Monate), weil du einer Gesundheitsprüfung unterzogen wirst mit Fragen und teilweise auch Gutachten. Bei der Beantwortung dieser sollte man unbedingt sehr viel Sorgfalt walten lassen, weil im Zweifel jede (auch fahrlässig) unterschlagene Information zu deinem Nachteil in einem Rechtsstreit verwendet werden kann. Aber keine Angst, die Versicherungen verhalten sich eigentlich immer sehr korrekt gegenüber Beamtenanwärtern. Ob es eine Nachdatierung des Versicherungsschutzes geben kann (also einen rückwirkenden Vertrag) hängt vom Good-Will der Versicherung ab, ist aber möglich.
Zusätzlich musst du dich bei deiner GKV abmelden. Hierbei ist es wichtig zu wissen, ob du pflichtversichert bist (bspw. durch eine sozialversicherungspflichtige Tätigkeit) oder freiwillig gesetzlich versichert bist. Bei letzterem hast du eine Kündigungsfrist von 2 Monaten, bei ersterem kannst du nahtlos wechseln. Die Abmeldung geschieht formlos und es ist eine Bescheinigung der neuen Versicherung vorzulegen. Es ist nämlich so, dass in DE eine Krankenversicherungspflicht besteht. Daher musst du auch keine Angst haben plötzlich ohne Versicherungsschutz dazustehen. Niemand kann dich rauswerfen ohne Nachweis einer neuen Versicherung. Vermutlich, wenn keine Rückdatierung möglich ist, wirst du dann erstmal bei deiner alten GKV freiwillig versichert, was leider etwas teurer ist als die PKV, weil du dann de facto keinen Beihilfeanspruch hast.
Also kurzgefasst.- Bemühe dich am besten so schnell wie möglich um eine Aufnahme in die PKV.
Bis dahin viel Erfolg